1. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам. Дисконтирование и наращение


68. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам

Финансовые расчеты с использованием простых процентов используются в практике, как правило, при определении эффективности краткосрочных финансовых операций (заключенных на срок не более 1 года), либо в случаях, когда проценты не присоединяются к первоначальной сумме, а периодически используются выгодаприобретателями.

Расчет наращенной суммы зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения. Для годовой ставки простых процентов (i) наращенная сумма S за n лет определяется по формуле 1:

,

где Р первоначальная величина — стоимость финансовых ресурсов изначально задействованных в конкретной финансовой операции.

Из формулы следует, что процентный доход, полученный за n лет будет в n раз больше, чем за год.

Если срок финансового соглашения измеряется не в годах в днях, что характерно для краткосрочных сделок, то в качестве n следует взять , где К — временная база, т.е. число дней в году. Если временная база К=360 дней (12 месяцев по 30 дней), то утверждают, что в сделке используются коммерческие (либо обыкновенные) проценты, а при использовании действительного количества дней в году, получаются точные проценты.

Подсчет числа дней t финансовой сделки может быть также двояким. При точном вычислении берут фактическое число дней сделки, при этом день получения и погашения денежных средств считают за один день. При приближенном подсчете принимают количество дней в месяце за 30, в квартале за 90, а полугодии за 180. Таким образом, на практике применяют три варианта простых процентов:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (банковский метод). Применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками (например, США, Великобритания). В коммерческих документах обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, а также в экономике Франции, Швейцарии, Бельгии (обозначается как 365/360 или АСТ/360).

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании (360/360).

Применение в сделках плавающих ставок требует корректировки расчета наращенной суммы финансовой операции следующим образом:

,

В финансовой практике возможны варианты погашения краткосрочных обязательств частями. При этом база начисления процентов определяется по одному из двух возможных методов:

1. Актуарный метод применяется в операциях со сроком более одного года и предполагает последовательное начисление процентов на непогашенный остаток основной задолженности (т.е. без учета задолженности по начисленным процентам). Однако следует иметь в виду, что промежуточные платежи засчитываются в счет погашения основной долга лишь при их превышении над текущей задолженностью по процентам. Если частичный платеж меньше начисленных процентов, то зачет к сумме долга не предусмотрен.

Окончательный погасительный платеж определяется по формуле наращения по простым процентам, с учетом того, что совокупная задолженность на конец срока должна быть полностью погашена.

Для улучшения восприятия сути данного метода приведен следующий условный пример.

Организация взяла в банке кредит на 180 дней на сумму 300 млн р. под 20% годовых. По истечении 30 дней в счет погашения долга произведен платеж в размере 11 млн р., а через 90 дней — на сумму 7 млн р. Необходимо определить величину окончательного платежа, если временная база по договору определена как 360 дней.

При такой постановке задачи, сумма начисленных процентов на дату внесения первого платежа составит:

Поскольку первый промежуточный платеж (10 млн р.) больше суммы начисленных процентов, то в счет погашения основного долга будет зачислено 6 млн р. (11-5), и остаток задолженности для последующих начислений составит 294 млн р. (300-6).

В свою очередь проценты, начисленные на дату внесения второго погасительного платежа, будут определены следующим образом:

Срок в 60 дней определен как разница между датой внесения первого и второго погасительного промежуточного платежа. В связи с тем, что размера промежуточного платежа (7 млн р.) оказался меньше суммы начисленных процентов (9,8 млн р.), то он не может быть засчитан в счет погашения основного долга. Поэтому за период, начиная с даты первого промежуточного платежа до конца срока финансового соглашения, определяют наращенную сумму, которую затем корректируют на величину второго промежуточного платежа. То есть, наращенная сумма на дату возврата кредита составит:

Учитывая, что за рассматриваемый период был проведен промежуточный платеж, то остаток задолженности, т.е. окончательный погасительный платеж, составит:

318,5-7=311,5 млн р.

2. Правило торговца применяется в операциях со сроком менее одного года и предполагает накопление частичных платежей у кредитора (лица дающего в долг) без уменьшения базы начисления процентов. При этом на величину накопленной суммы кредитор производит начисление процентов, как по депозиту. Взаимозачет производится в конце срока сделки.

Для демонстрации методики вычисления взят тот же цифровой пример, что и при актуарном методе.

Поскольку кредит взят на 180 дней, то наращенная сумма по завершении сделки должна составить:

Поскольку при данном методе промежуточные погасительные платежи рассматриваются как отдельные депозитные операции, то необходимо определить срок их хранения на сберегательных счетах. Так как первый платеж внесен через 30 дней после даты выдачи кредита, то он будет храниться у кредитора 150 дней (180-30). В свою очередь второй платеж — 90 дней (180-90). Исходя из этого, наращенная сумма двух депозитов составит:

Сравнение наращенной суммы по кредиту с наращенными величинами депозитов позволит определить размер окончательного платежа:

Окончательный платеж выступает балансировочным показателем между кредитной и депозитной сделками, реализуемыми в рамках одной финансовой операции.

Дисконтирование — это процесс приведения будущей стоимости финансовых ресурсов к современному (предшествующему, начальному) моменту времени. Процесс дисконтирования является обратным процессу наращения и в большей мере позволяет учесть временной фактор в вычисления. При этом, следует иметь в виду, что величина Р, найденная посредствам дисконтирования, называется современной (текущей, капитализируемой) стоимостью, а исчисленные и удержанные проценты — дисконтом (скидкой).

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования:

1. Математическое, при котором применяется ставка наращения, а современная величина рассчитывается по формуле:

,

2. Банковский (коммерческий) учет с соответствующей учетной ставкой. Суть банковского дисконтирования заключается в приобретении банком либо небанковской финансово-кредитной организацией платежного обязательства с определенным дисконтом до наступления срока платежа по нему (т.е. учета долгового обязательства). При этом размер компенсации по такой сделке определяется по формуле:

,

где v — срок от даты учета до даты погашения долгового обязательства;

d — годовая учетная ставка.

Размер дисконта с конечной суммы по соглашению сторон может устанавливаться и в твердой сумме, но при этом эффективность сделки оценивается в относительной величине.

studfiles.net

Конспект лекций

1. Основы финансовых вычислений

1.1. Наращение и дисконтирование Учет фактора времени в финансовом анализе

Система финансов построена на основе теории временнóй стоимости денег. Теория временнóй стоимости денег – концепция, основанная на том, что деньги должны приносить процент; ценность денег, имеющихся в данный момент, выше, чем ценность той же суммы, которая будет получена в будущем.

Соответственно, неотъемлемой составляющей финансового анализа является учет фактора времени. В практических финансовых операциях суммы денег вне зависимости от их назначения или происхождения обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Вне времени нет денег. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже и большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования, кредитования и инвестирования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, т.е. «время – деньги».

Одинаковые суммы денег «сегодня» и «потом» оцениваются по-разному. Сегодняшние деньги приравниваются к возросшей денежной массе в будущем и, наоборот, вместо денег «потом» можно согласиться на уменьшенные выплаты, но сейчас.

Неравноценность двух одинаковых по абсолютной величине разновременных сумм определяется следующим:

во-первых, имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем (полученный доход в свою очередь реинвестируется и т.д.), т.е. возможностью использования денег как приносящего доход финансового актива;

во-вторых, - неопределенностью будущего и связанным с нею риском. Деньги «в кармане» могут быть израсходованы на потребление сиюминутно. Сберегаемые же деньги подвержены всевозможным рискам в зависимости от способа сбережения. Если они хранятся на «домашнем депозите», им грозит обесценение из-за инфляции или потеря в результате ограбления, пожара и т.д.

В случае, когда деньги даются в долг, риск невозврата зависит от успешности кредитуемого мероприятия, которое может завершиться убытками и полным крахом. Поэтому возвращаемая сумма всегда должна быть больше заемной как с учетом срока ссуды, так и существующего риска потерь.

Очевидным следствием временной стоимости денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при принятии решений финансового порядка. Их сравнение допустимо только при «приведении» таких сумм к одному моменту времени. Формулы, которые будут рассмотрены ниже, позволяют пересчитывать и приводить денежные потоки к различным временным датам без учета фактора неопределенности.

Наращение

Наращение – приведение денежных потоков (денежных сумм) к одному моменту времени в будущем.

Рассмотрим формулы расчета будущих сумм S по начальному вкладу Р. В основе их построения лежит понятие единичного периода начисления (n=1) и процентной ставки i, которая фиксирует процентное увеличение исходной суммы Р за первый период. В результате сумма на конец этого периода времени составляет:

,

где процентная ставка i измеряется десятичной дробью.

По отношении к следующим периодам начисления ставки процентов трактуются по-разному в зависимости от принятой схемы начисления: по простым или по сложным процентам. В первом случае приросты денежных сумм для любого периода будут составлять все ту же долю i от первоначальной суммы Р. В результате наращенная за n периодов сумма составит величину , (1)

где n – срок в годах.

В отличие от простых для сложных процентов одна и та же ставка i берется для каждого последующего промежутка не от первоначальной суммы, а от результата предыдущего начисления, т.е. от суммы, наращенной на начало данного периода. Отсюда следует, что вклад Р при ставке сложного процента i через n периодов составит сумму

(2)

Множители и- множители наращения соответственно по простым и сложным процентам.

Т.о. последовательность наращенных сумм в случае простых процентов представляет арифметическую прогрессию, в то время как для сложных процентов прогрессия будет геометрической.

Выражения (1), (2) называют формулой простых и, соответственно, сложных процентов, а под процентными деньгами или, кратко, процентами понимают величину дохода (приращения денег)

В финансовых вычислениях в случае меняющихся во времени процентных ставок используют следующие формулы - для простых процентов,

- для сложных процентов.

studfiles.net

2.2 Непрерывные проценты Наращение и дисконтирование

 

 

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

 

S=P(1+j/m)mn,

 

где j - номинальная ставка процентов, а m - число периодов начисления процентов в году.

         Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m имеем

 

         S= lim P(1+j/m)mn=P lim [(1+j/m)m]n.                                  (45)

              m                               m

Известно, что  

lim (1+j/m)m=lim [(1+j/m)m/j]j=ej,

         m                      m    

где e - основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (45), окончательно получаем, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставкеj равна

S=Pejn.                                                                         (46)

 

Для того, чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом . Тогда

S=Pen.                                                                         (47)

 

Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при m.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

P=Se-n.                                                                                 (48)

 

Связь дискретных и непрерывных процентных ставок

 

         Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения

                   (1+i)n=en.                                                          (49)

 

         Из записанного равенства следует, что

 

                            =ln(1+i),                                                 (50)

                            i=e-1.                                                       (51)

 

         Пример 13.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%, чему равна эквивалентная сила роста,

         Решение.

Воспользуемся формулой (50)

=ln(1+i)=ln(1+0,15)=0,13976,

т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.

 

Расчет срока ссуды и процентных ставок

 

         В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить  либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

Срок ссуды

 

         При разработке параметров соглашения и оценивании сроков достижения желательного результата требуется определить продолжительность операции (срока ссуды) через остальные параметры сделки. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

         А) При наращивании по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения

                           

                            S=P(1+i)n

следует, что

                             (52)

 

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется как в числителе, так и в знаменателе.

         Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы

                            S=P(1+j/m)mn

 

получаем

                             (53)

 

         В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы

                            P=S(1-d)n

 

имеем                  (54)

         Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке mраз в году. Из

                            P=S(1-f/m)mn

 

приходим к формуле

                             (55)

 

При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из

 

                            S=Pen

получаем

                            ln(S/P)=n.                                               (56)

 

studfiles.net

4.3.4. Наращение и дисконтирование потоков денежных сумм

Вреальной практике, как правило, приходится иметь дело не с единичными суммами, а с некоторыми потоками денежных сумм, которые регулярно предприятие реально выплачивает либо получает. Денежный поток принято изображать на временной линии,как это показано на рисунке.

Элемент денежного потока принято обозначать CFk (от Cash Flow), где k - номер периода, в который рассматривается денежный поток. Настоящее значение денежного потока обозначено PV ( Present Value), а будущее значение - FV ( Future Value).

Наращение денежных потоков осуществляется с помощью многократного использования формулы (4.7):

,

или

. (4.20)

Пример. После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию $1,000 в год. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 5 % годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

Решим задачу с использованием временной линии.

Таким образом, через 5 лет предприятие накопит $5,526, которые сможет инвестировать.

В данном случае денежный поток состоит из одинаковых денежных сумм ежегодно. Такой поток называется аннуитетом. Для вычисления будущего значения аннуитета используется формула

, (4.21)

которая следует из (4.20) при CFk = const.

Расчет будущего значения аннуитета может производиться с помощью специальных финансовых таблиц. Фрагмент этих таблиц помещен в приложении (таблица 2). В частности, с помощью таблицы 2 при r = 5% и n = 5 получаем множитель 5,526, который соответствует результату расчета примера.

Для произвольного значения процентной ставки можно воспользоваться следующей конечной формулой для наращения аннуитета, которая легко получается путем использования суммирования убывающей геометрической прогрессии:

. (4.211)

Дисконтирование денежных потоков осуществляется путем многократного использования формулы (4.8), что в конечном итоге приводит к следующему выражению:

,

или

. (4.22)

Пример. Рассмотрим денежный поток с неодинаковыми элементами CF1=100, CF2=200, CF3=200, CF4=200, CF5=200, CF6=0, CF7=1,000, для которого необходимо определить современное значение (при показателе дисконта 6%). Решение проводим с помощью временной линии:

Вычисление дисконтированных значений отдельных сумм можно производить путем использования таблицы 3, помещенной в приложении.

Дисконтирование аннуитета (CFj= const) осуществляется по формуле

. (4.23)

Для расчета настоящего (современного) значения аннуитета может быть использована таблица 4 приложения или следующее конечное соотношение:

. (4.231)

Пример. Предприятие приобрело облигации муниципального займа, которые приносят ему доход $15,000, и хочет использовать эти деньги для развития собственного производства. Предприятие оценивает прибыльность инвестирования получаемых каждый год $15,000 в 12 %. Необходимо определить настоящее значение этого денежного потока.

Решение проведем с помощью таблицы:

Год

Множитель при 12%

дисконтирования

Поток денег

Настоящее

значение

1

0.893

$15,000

$13,395

2

0.797

$15,000

$11,955

3

0.712

$15,000

$10,680

4

0.636

$15,000

$9,540

5

0.567

$15,000

$8,505

3.605

$75,000

$54,075

По результатам расчетов мы видим, что

  • дисконтированное значение денежного потока существенно меньше арифметической суммы элементов денежного потока,

  • чем дальше мы заходим во времени, тем меньше настоящее значение денег: $15,000 через год стоят сейчас $13,395; $15,000 через 5 лет стоят сейчас $8,505.

Задача может быть решена также с помощью таблицы 4 приложения. При r = 12% и n = 5 по таблице находим множитель дисконтирования 3.605.

Современное значение бесконечного (по времени) потока денежных средств определяется по формуле:

, (4.24)

которая получается путем суммирования бесконечного ряда, определяемого формулой (4.23) при .

studfiles.net

1. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам

1.1 Наращивание по простым процентным ставкам

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления.

Обозначим:

I -- проценты за весь срок ссуды;

P -- первоначальная сумма долга;

S -- наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i -- ставка наращения процентов в виде десятичной дроби;

n -- срок ссуды.

Начисленные за весь срок проценты составят I = Pni .

Наращенная сумма представляет собой сумму первоначальной суммы и наращенных процентов:

S = P + I = P + Pni = P(1+ ni) . (1.1)

Выражение (1.1) называют формулой простых процентов.

Выражение (1+ ni) называется множителем наращения простых процентов, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.При расчете процентов применяют две временные базы.Если К = 360 дней, то получают обыкновенные или коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты.Число дней ссуды берут приближенно и точно.При приближенном числе дней число дней в месяце берут равным 30 дням. Точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. В соответствии с ГК РФ (п.1 ст.839 Гражданского Кодекса РФ) дни открытия и закрытия вкладов не включаются в число дней, используемых для начисления процентов.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (обозначается 365/365 или АСТ/АСТ). Применяется центральными банками и крупными коммерческими банками в Великобритании, США, дает самые точные результаты. процентная ставка наращивание дисконтирование вексель2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360 или АСТ/360). Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых -- во Франции, Бельгии, Швейцарии. Дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуд (360/360). Такой метод принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах.В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, то есть происходит реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок.

1.2 Дисконтирование по простым процентным ставкам

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируетсяили учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты, т.е. разность D = S - P -- дисконтом или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке векселей и других краткосрочных обязательств.Дисконтирование можно рассматривать как определение любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени.Этот прием называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени.Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной будущего платежа S, а иногда -- текущей, или капитализированной, стоимостью.В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования -- математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором -- учетная ставка.Математическое дисконтирование представляет собой нахождение первоначальной суммы по наращенной. То есть из формулы

S = P(1+ ni)

находимУстановленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет.Дробь называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.При банковском учете банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. Владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги ранее указанного на нем срока.Вексель - это ценная бумага, представляющая собой долговую расписку, выполненную в соответствии с требованиями законодательства, то есть на бланке, содержащем наименование, указание срока платежа, места, в котором должен быть совершен платеж, наименование того, кому платеж должен быть совершен, дата и место составления векселя, подпись векселедателя. Выделяют два основных вида векселя - простые и переводные.Простой вексель - это документ, удостоверяющий безусловное денежное обязательство векселедателя уплатить по наступлению срока обязательства определенную сумму владельцу векселя.

Переводной вексель (тратта) - документ, который выписывается заемщиком (векселедателем) и представляет собой особый приказ непосредственному плательщику (обычно банку) об уплате в указанный срок суммы денег третьему лицу (векселедержателю).

При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет.Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.Размер дисконта, или суммы учета, равен Snd; если d -- годовая учетная ставка, то n измеряется в годах. Таким образом,

P = S - Snd = S(1- nd) , (1.4)где n -- срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель равен (1- nd) .Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

studfiles.net

2.2 Дисконтирование и наращение по сложным учетным ставкам

Процесс дисконтирования по сложной учетной ставке (в отличие от простой) происходит с замедлением, так как на каждом шаге во времени учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, а к сумме уменьшенную на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге.

P=S (1-dc)n(2.9)

где dc – сложная учетная ставка,

(1-dc)n – дисконтный множитель, показывающий какую часть первоначальная сумма составляет в наращенной сумме.

Если дисконтирование производится «m» раз в году применяют номинальную учетную ставку (f)

P=S (1-f/m)mn(2.10)

или эффективную учетную ставку эквивалентную номинальной при заданном значении «m»

dc=1-(1-f/m)m(2.11)

Наращение по сложным процентам учетным ставкам ведется по формулам:

S=P/(1-dc)n (2.12)

и

S=P/(1-f/m)mn (2.13)

полученным в результате решения зависимости (2.9 и 2.10) относительно «S» (сложные антисипативные проценты).

2.3 Непрерывное наращивание и дисконтирование

Для адекватного описания сложных, непрерывных производственных и хозяйственных явлений, для их финансово-экономического анализа применяют непрерывное наращение и дисконтирование. При непрерывном наращении применяются особый вид процентной ставки – сила роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечном малом промежутки времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени. Наращенная сумма определяется:

S = Peбп (2.14)

где б – постоянная сила роста которая представляет собой номинальную (j) ставку процентов при m = ∞;

e – основание натурального логарифма или число Эйлера равное – 2.73

Современная величина платежа определяется путем решения уравнения (2.14) относительно «Р»:

Р =Se_бп (2.15)

2.4 Определение срока платежа и процентных ставок

При разработке финансовых операций возникает необходимость решения обратных задач относительно наращения и дисконтирования – определение продолжительности ссуды, числа периодов наращения, ставки процентов или учетной ставки. Для этого необходимо решить уравнения, связывающие величины S и Р, относительно неизвестных в каждом случае величин.

- при наращении по сложной годовой ставке; (2.16)

- при наращении по номинальной ставке; (2.17)

- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке; (2.18)

- при дисконтировании по номинальной учетной ставке; (2.19)

- при наращении по постоянной ставке непрерывных процентов; (2.20)

Соответственно определяются ставки:

Ic = (S/P)1/n– 1 (2.21)

j = m ((S/P1/mn-1)) (2.22)

dc = 1- (P/S1/n) (2.23)

f = m (1-P/S1/mn) (2.24)

σ = (2.25)

2.5 Наращение процентов и инфляция

В приведенных выше формулах (2.1; 2.2; 2.3; 2.4) все величины измерялись по номиналу, не принималось во внимание реальная покупательная способность денег, то есть последствия инфляции.

В финансовых расчетах используются два способа учета инфляции:

1) Корректировка первоначальной суммы на индекс инфляции:

Ju = (1 + L)n(2.26)

где L – прирост инфляции;

С = P (1 + i)n (1+ L)-n = P (2.27)

где С – реальная наращенная сумма,

[(1 + i) / (1+ L)]n – множитель наращения с учетом инфляции.

2) Индексация ставок процентов:

Z = I + L + I + i (2.28)

где Z - брутто-ставка с поправкой на инфляцию.

studfiles.net